【全球报资讯】2023浙江大学强基数学逐题解析（1）

已知，，则的最大值为___________.

答案  

【资料图】

解析  

设，.

则

当且仅当时取等.

所以的最大值是.

的正整数解个数为

A. 4

B. 6

C. 7

D. 以上三项均不正确

答案  A

解析  

(1) 若，方程化为

两边对5取模，得

(i) 若，则，.

于是

即

由于，

若，则，得.

而，，

从而，这是不可能的，所以不符合题意.

若，

由于，所以是奇数，又因为其不小于5，所以

，即.

从而.

(ii) 若，则，.

两边对4取模，得

即，即.

所以，即

即

由于，

若，则，得.

而，，

从而，这是不可能的. 所以不符合题意.

若，得.

(2) 若，则，所以.

方程化为

(i) 若，方程化为

若，即.

由于，所以，这是不可能的，所以该情况不符合题意.

若，两边对3取模得，即.

所以为奇数.

于是

即

由于，

若，则，得.

而，，

从而，这是不可能的，所以不符合题意.

若，则.

(ii) 若，则

所以.

两边对3取模得，即

所以为偶数. 则

由于，且为奇数，所以

即

由(i)知该方程的解为.

得.

综上，

所以该方程的正整数解的个数为4.

故选：A.